Han föddes 1947 i Borlänge. Redan i unga år utvecklade Eliasson ett starkt intresse för musik och började spela trumpet i stadens jazzorkestrar. Han började sina studier vid musikhögskolan i Stockholm 1966. Där fick han Ingvar Lidholm i komposition. Andra lärare som betytt mycket för Eliassons musikaliska utveckling är Ligeti och Ib Nörholm.

I några betydelsefulla verk från början av 70-talet strävar tonsättaren efter ett helhetsperspektiv men med en kärv poetisk stil. Han skalar bort allt överflödigt.
Det är först i slutet av 70-talet med det centrala verket Canto del vagabondo som Eliasson visar på en ny musikalisk och konstnärlig riktning. Canto del vagabondo är ett helgjutet verk som bygger på Carl von Linnés lappländska resa. Detta är ett stort upplagt verk för gossopran, damkör och orkester. För detta fick han det stora Christ Johnsonpriset 1983.

Även för kammar musik har Anders Eliasson skapat många intressanta verk. Quinetto per clavicembalo e quartetto från 1985 och Quartetto d´archi från 1991 kan nämnas. Nästa samtliga verk av Eliasson har Italienska namn. På 80-talet kom hans första symfoni som sedan skulle följas av flera, t ex symfoni nr tre med saxofon stämma från 1989.